нужен совет: как почистить паркет от грязи и жира?

Поскольку для Вас нет выбора и нужно чистить, могу сказать только предварительный план. Вы не описали Ваш паркет, например, использованный материал и есть ли лаковое покрытие, поэтому дать правильную рекомендацию, как чистить от грязи и жира неизвестно что, почти невозможно.
По крайней мере могу только сказать, что наименьший ожидаемый вред будет если для очистки от грязи и жира использовать моющее средство для посуды с отмыванием водой. Но есть два риска
— вода попадёт под паркет и он вздуется
— если Ваш паркет не имеет лакового покрытия, он может отбелиться больше, чем Вы хотите.
Попробуйте сначала почистть маленький участочек в неприметном месте.
И в завершение замечу, что Ваш хозяин когда стелил паркет на кухне, наверное знал, как его содержать, включая, как чистить. :)

так проблема в том что уже есть пятна

а мелкой наждачкой?
просто пятна небольшие машину както в лом покупать :))

Главная трудность — фсё вынести из кухни ;(
А если надумаешь делать серьёзный ремонт — плитка (керамогранит).

Самое простое и долговечное решение — постелить поверх паркета линолеум с подходящим рисунком. Если это настоящий паркет, а не блочное покрытие а-ля паркет, то под линолеум желательно постелить тонкий микропористый слой для нивелирования неровностей паркета, уже возникших вследствие попадания влаги.