Шевкуненко родился 20 ноября 1959 года в семье творческих работников: его отец Юрий Александрович был директором 2-го творческого объединения киностудии «Мосфильм», здесь же в качестве ассистента режиссера работала мать Сергея Полина Васильевна.
Сергей был вторым ребенком в семье (была еще дочь Ольга), и ребенком поздним: в момент его появления на свет матери шел 41-й год. Поэтому радость родителей после рождения сына была безмерной. К примеру, отец, будучи еще и драматургом, в честь этого события написал пьесу «Сережка с Малой Бронной», которая затем стала поводом для появления песни с аналогичным названием (ее исполнял Марк Бернес).